• Leren van grafieken met Virtual Math

Door: Sonia Palha (Hoofddocent Wiskunde FOO), 20 april 2020

uitleg

In dit project hebben we de computerapplicatie Interactive Virtual Math doorontwikkeld en aanvullend lesmateriaal voor de applicatie gemaakt met een docententeam. De applicatie en het lesmateriaal werden vervolgens uitgeprobeerd in de wiskundeles bij twee 4 havo klassen.
Met een leerling-enquête en een observatieformulierkregen we inzicht in hoe leerlingen met de les leren.

De applicatie en dit materiaal vind je op de site van IVM.

We hebben een les ontworpen voor havo 4 wiskunde A. Uit eerder onderzoek met de IVM-app kwam naar voren dat deze groep de meeste moeite had met grafieken tekenen. Ook is de voorkennis bij deze groep leerlingen naar verwachting meer gevarieerd dan bij vwo of havo b, waardoor het lastiger is voor docenten om aan de verschillende leerlingbehoeften te voldoen.

Om wiskundegrafieken te kunnen maken of interpreteren is het belangrijk dat leerlingen de juiste variabelen kunnen aanwijzen en ook verbeelden hoe deze in verband met elkaar variëren. Dit betreft een soort wiskundig redeneren: ‘covariational reasoning‘ (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen &, Hsu, 2002).

Leerlingen die moeite hebben met grafieken, vinden het vaak moeilijk om covariationeel te redeneren. Bijvoorbeeld, gegeven de contextvraag: “een vaas wordt gevuld met water. Schets een grafiek die het verband tussen de hoogte van het water in de vaas en de hoeveelheid water in de vaas (volume) beschrijft”, tekenen veel leerlingen een rechte lijn of een afnemend stijgende lijn i.p.v. een afnemend stijgende gevolgd door een toenemend stijgende lijn.

toepassing

Computerapplicaties die dynamische animaties en grafieken met elkaar verbinden, creëren kansen voor leerlingen om contexten van verandering en covariatie te exploreren (Kaput, 1994).

De Interactive Virtual Math (IVM)-applicatie bouwt voort op dit idee. Het biedt een context van verandering (een vaas wordt gevuld met water en de hoogte varieert als functie van de hoeveelheid water), de leerling probeert de wiskundige weergave (grafiek) en redenering (uitleg) te maken bij de context met behulp van opdrachten, animaties en feedback.

De applicatie vraagt de leerling om zijn eigen beeld van de grafiek te tekenen en uit te leggen zodat ze betrokken zijn bij de mentale activiteit van het visualiseren van de covariationele relatie. Daarnaast biedt de applicatie voldoende mogelijkheden om de getekende grafiek, uitleg en eindantwoord aan te passen zodat leerlingen hun schets (en mentaal beeld) blijven verbeteren. De applicatie geeft de leerling intrinsieke feedback over zijn acties en hoe hij/zij dit kan verbeteren. Er worden verschillende vormen vazen aangeboden, zodat de leerling verschillende soorten veranderingen leert onderscheiden.

Covariationeel redeneren betreft een soort denken dat in wezen niet-numeriek is, daarom is in de IVM-applicatie geen schaal op de assen van de grafieken geplaatst; er wordt naar globale grafieken gevraagd en er zijn geen specifieke hoeveelheden gegeven. Onderzoek naar het leren van covariationeel redeneren wijst er op dat de perceptie van leerlingen over de hoeveelheden (bijvoorbeeld oppervlakte, hoogte, volume) een belangrijke rol speelt: leerlingen moeten zich de hoeveelheden kunnen voorstellen als dingen die kunnen variëren en kunnen worden gemeten. Aansluitende hieraan bevat de IVM-applicatie hoeveelheden (de hoogte en het volume) die de leerling mentaal kan variëren en meten; en er zijn twee animaties die de leerling ertoe kunnen aanzetten om de hoogte te variëren als functie van het volume.

IVM kan daarom een rol spelen in het leren van grafieken in de klas. Leerlingen die moeite hebben krijgen inhoudelijk ondersteuning van de applicatie. Daarnaast is de applicatie adaptief; leerlingen die de goede grafiek meteen tekenen worden geleid naar de volgende opdracht. Hierdoor is de applicatie geschikt om in een klas te gebruiken met leerlingen die verschillende voorkennis hebben.

voorbereiding en uitvoering

De ontwikkeling van de lesmaterialen voor het VO verliep goed, daarover hieronder meer.

We wilden ook HO-lesmateriaal voor wiskundedidactiek maken, maar kwamen niet verder dan het begin door de COVID-19 uitbraak. We willen onze aanpak uitbreiden binnen masters en bachelors. Ook aan het VR-onderdeel willen we in een vervolgproject verder! Meer informatie over de HO-les vind je in de tweede blog van Grassroots.

De VO-les die we hebben ontworpen hebben we in twee klassen uitgeprobeerd. Beide lessen zijn geobserveerd door meerdere docenten uit het docententeam. Daarnaast werden leerlingwerk en ervaringen verzameld. Het waren geslaagde lessen en we hebben veel geleerd. We hebben de tweede les al aangepast op basis van de ervaringen in de eerste les.

Bij de nabespreking van het eerste les merkten we op dat leerlingen betrokken waren bij de applicatie en de opdrachten maar dat ze de applicatie te oppervlakkig hebben gebruikt. IVM kan een rol spelen in het abstraheren van representaties omdat leerlingen kunnen interacteren met abstracte beelden; alleen merkten we dat deze interactie niet zichtbaar was. De leerlinguitspraken en uitleg hadden weinig diepgang en er werd voor ons gevoel weinig geredeneerd. Leerlingen hadden het niet over relaties en hoeveelheden maar over de vorm van de vaas. Dit werd een belangrijk verbeterpunt voor het herontwerpen van de VO-les. Ook hebben we, bij de opdrachten in kleine groepen, een aantal groepen moeten helpen om de gesprekken op gang te krijgen.

Bij de tweede les hebben we het oefenen van redeneren met hoeveelheden meer expliciet aandacht gegeven door de opdrachten in werkbladen 2 en 3 aan te passen en in de communicatie met de leerlingen aan het begin, aan het eind en tijdens de les. Zo heeft er in de tweede les aan het begin en aan het einde van de les een klassengesprek plaatsgevonden rond ‘wiskundig redeneren’. En de reflectie-opdrachten (werkblad 3) hebben voor ons gevoel covariationeel redeneren kunnen uitlokken. Alleen, zoals in de eerste les, verliep het gesprek in kleine groepjes niet altijd makkelijk.

voorbeelden

Het werken met de applicatie beviel goed bij de leerlingen. Leerlingen in beide klassen gaven ook aan dat ze weinig hulp nodig hadden om zelfstandig met de applicatie te kunnen werken. Bij de eerste groep gaven bijna alle leerlingen aan dat ze met de applicatie hebben geleerd. Ze vonden de applicatie interessant, leuk, geschikt om mee te oefenen, het gaf ze een beeld en het werd duidelijk uitgelegd. Een leerling schreef: “Ik vond het wel iets behulpzamer dan als je het vanuit een boek moet doen want het geeft je een beeld en helpt stap voor stap”.
Bij de tweede groep waren de ervaringen van de leerlingen minder positief. Dit komt gedeeltelijk door het moeilijk schrijven met de tablet; dat ging steeds mis.

In beide klassen hadden leerlingen aan het begin van de les moeite met het maken van de juiste grafiek. Zo hebben slechts zes van de vijftien leerlingen (klas 1) en slechts 4 van de 20 leerlingen (klas 2) de grafiek met de juiste vorm getekend op werkblad 1. Na het werken met de applicatie konden meer leerlingen de grafiek juist tekenen. Zo hebben tien leerlingen in klas 1 en twaalf leerlingen in klas 2 een acceptabele grafiek gemaakt en andere leerlingen hebben hun grafiek verbeterd.

  • Figuur 1: animatie (vul de vaas in)

  • 1Nadat leerlingen zijn ingelogd krijgen ze een animatie te zien (figuur 1, links). Ze kunnen zelf water aan de vaas toevoegen door op de ‘pijl’ links te drukken. De vaas wordt steeds verder gevuld met dezelfde hoeveelheid water. Maar omdat de vaas rond is hebben de laagjes-water verschillende hoogtes. Dit wordt ook benadrukt doordat er verschillende kleuren worden gebruikt. Leerlingen kunnen ook de maat van de ‘beker’ veranderen. Er is de mogelijkheid om de vaas in één enkele keer te laten vullen.

  • Figuur 2: voorbeeld leerling antwoord voorkennis (links) en verbeterd met de applicatie

  • Figuur 2

  • Figuur 3: Animatie 2 (schuif de punten)

  • De applicatie kan de leerlingen geholpen hebben om de grafiek te verbeteren. Leerlingen die een foute grafiek tekenden, kregen animatie 2 (schuif de punten) te zien (figuur 3). De leerling plaatste de punten op een zelf ingeschatte hoogte. Door te klikken op de ‘pijl’ wordt de vaas gevuld met water, waarbij de leerling kan checken of de inschatting goed was en die aanpassen indien nodig.

  • Een andere hulp die leerlingen van de applicatie krijgen is de vaas-feedback (figuur 4). Leerlingen krijgen de vorm van de vaas te zien die bij de eigen gemaakte grafiek hoort. De leerlingen kunnen dan de grafiek aanpassen en meteen zien hoe de vorm van de vaas verandert. In het voorbeeld hieronder heeft een leerling de grafiek fout getekend (plaatje boven) en andere leerling heeft een acceptabele grafiek getekend (plaatje onder).

  • Figuur 4: voorbeeld leerling antwoord bij de vaas-feedback

Projectteam

Het projectteam is een team van vijf docenten van de bachelor en de master lerarenopleiding wiskunde en twee studenten van de masteropleiding die leraar in het VO zijn, te weten:

  • Barbara Kunst, student eerstegraads lerarenopleiding wiskunde; wiskundeleraar aan het Tabor College Werenfridus, in Hoorn
  • Daan van Smaalen, docent eerstegraads lerarenopleiding wiskunde, FOO
  • Jasmijn Vosbergen, docent tweedegraads lerarenopleiding wiskunde, FOO
  • Lidy Wesker, docent eerstegraads lerarenopleiding wiskunde, FOO
  • Peter Lanser, docent tweedegraads lerarenopleiding wiskunde, FOO
  • Sonia Palha (projectleider), hoofddocent wiskundeonderwijs en onderzoek, FOO en onderzoeker bij de lectoraat Didactiek van de Betavakken.
  • Susan Hollander, student eerstegraads lerarenopleiding wiskunde; wiskundeleraar aan het Vellesan College, in IJmuiden

Referenties

Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S., & Hsu, E. (2002). Applying covariational reasoning while modeling dynamic events: A framework and a study. Journal for Research in Mathematics Education, 352-378.

Kaput, J. J. (1994). The representational roles of technology in connecting mathematics with authentic experience. Didactics of mathematics as a scientific discipline, 379-397.

Geef een antwoord

Creative Commons License

Gerelateerde documenten:

© ICTO bij FOO 2022